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【湖南專升本】成人高考復習資料數學1--多元函數積分學

湖南成人高考網 發布時間:2018-07-14 16:26:20

多元函數積分學

知識結構:

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學 

 

必備基礎知識

★ 二重積分的定義 

f(x, y)是有界閉區域D上的有界函數。將閉區域D任意分成n個小閉區域:Ds 1, Ds 2, × × × , Ds n ,其中Ds i表示第i個小區域, 也表示它的面積. 在每個Ds i上任取一點(x i, hi), 作和:

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學.   

如果當各小閉區域的直徑中的最大值l趨于零時, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數f(x, y)在閉區域D上的二重積分, 記作【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學, 即

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學.

f(x, y)被積函數, f(x, y)ds被積表達式, ds面積元素, x, y積分變量, D積分區域, 【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學積分和. 

★ 二重積分的幾何意義

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學 

如果f(x, y)30, 被積函數f(x, y)可解釋為曲頂柱體的在點(x, y)處的豎坐標, 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積. 如果f(x, y)是負的, 柱體就在xOy 面的下方, 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積, 但二重積分的值是負的.

★ 二重積分的性質(二重積分與定積分有類似的性質)

性質1 被積函數的常數因子可以提到二重積分號的外面,即

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學(k為常數)。

性質2 函數的和(或差)的二重積分等于各個函數的二重積分的和(或差)。

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

性質3 如果閉區域D被有限條曲線分為有限個部分閉區域,則在D上的二重積分等于在各部分閉區域上的二重積分的和。例如D分為兩個閉區域D1與 D2,則

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

此性質表示二重積分對于積分區域具有可加性

性質4 如果在D上,f(x,y)= 1,s 為D的面積,則

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

此性質的幾何意義很明顯,因為高為1的平頂柱體的體積在數值上就等于柱體的底面積。

性質5:如果在D, (x, y)g(x, y), 則有不等式:

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

特殊地,【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

性質6Mm分別是f(x, y)在閉區域D上的最大值和最小值, sD的面積, 則有:        

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學.

上述不等式是對二重積分估值的不等式。

性質7(二重積分的中值定理)設函數f(x, y)在閉區域D上連續, s D的面積, 則在D上至少存在一點(x, h)使得【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學. 

★ 積分區域的分類

(1)上下結構:平面圖形【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學由上下兩條曲線y=f(x)與y=f(x)及左右兩條直線x=ax=b所圍成

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學 

特點:

(1)平面圖形【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學上下是兩條曲線y=f(x)和y=f(x),左右是兩條直線x=ax=b

(2)作穿過平面圖形【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學且平行于【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學軸的有向直線,進入區域交的是y=f(x),出來區域交的是y=f(x)

例:拋物線【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學所圍成的圖形

解:該平面圖形為上下結構:

上面是曲線:【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

下面是曲線:【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

左邊是直線:【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

右邊是直線:【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學   

(2)左右結構:平面圖形【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學由左右兩條曲線x=j(y)與x=j(y)及上下兩條直線y=dy=c所圍成。

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學 

特點:

(1)平面圖形【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學左右是兩條曲線x=j(y)和x=j(y),上下是兩條直線y=dy=c

(2)作穿過平面圖形【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學且平行于【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學軸的有向直線,進入區域交的是x=j(y),出來區域交的是x=j(y)。

例:由曲線【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學和直線【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學所圍成的圖形

解:該平面圖形為左右結構:             

左邊是曲線:【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

右邊是曲線:【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

上面是直線:【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

下面是直線:【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學 

 

主要考察知識點和典型例題:

二重積分是定積分的擴展,是二元函數的積分,具有和定積分相似的定義和性質。從考試的角度看,主要是考查二重積分的計算,考查方法是直接給定一個二重積分,讓我們選擇合適的方法進行計算。

二重積分【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學的計算首先要確定坐標系,即:是在直角坐標系下還是在極坐標系下計算,兩種情況往年都考過,所以都需要大家掌握。

(1)當二重積分【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學的積分區域為圓面【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學、環面【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學、扇面等區域時,考慮用極坐標;當被積函數【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學含有【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學也要考慮極坐標。

(2)其余情況一般考慮在直角坐標系下計算。

考點一:利用直角坐標計算二重積分(轉化為二次積分)

1、上下結構區域:   D :  j1(x)yj2(x), axb .

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學 

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學(先【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

法則:前看端點,后作平行

(2)左右結構區域:   D :  y1(y) xy2(y), cyd

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學 

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法則:前看端點,后作平行

典型例題  計算【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學, 其中D是由直線y=1、x=2y=x所圍成的閉區域. 

: 

方法一. 可把D看成是上下結構區域: 1x2, 1yx . 于是

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方法二. 也可把D看成是左右結構區域: 1y2, yx. 于是

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【注】:

 (1) 若積分區域既是 上下結構區域又是左右結構區域 , 則有

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為計算方便,可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序.

(2) 若積分域較復雜,可將它分成若干上下結構域或左右結構域 , 則

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學

考點二: 利用極坐標計算二重積分(轉化為二次積分)

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學     【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學    

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學 

若積分區域【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學可表示為:

aqb, j 1(q)rj 2(q),

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【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學   

典型例題:計算【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學, 其中D是由中心在原點、半徑為的圓周所圍成的閉區域. 

解  在極坐標系中, 閉區域D可表示為

0ra , 0q 2p . 

于是  

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往年真題:計算【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學,其中【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學的公共部分。                  

解:在極坐標系中, 閉區域D可表示為

0q 【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學,0r  【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學, 

于是

【江蘇成考】專升本數學1---多元函數積分學 

 

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