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難點5:求解函數解析式-2019年高起點數學文科復習考點-湖南成教

湖南成人高考網 發布時間:2018-11-26 16:42:23

難點5求解函數解析式


求解函數解析式是高考重點考查內容之一,需引起重視.本節主要幫助考生在深刻理解函數定義的基礎上,掌握求函數解析式的幾種方法,并形成能力,并培養考生的創新能力和解決實際問題的能力.


●難點磁場


(★★★★)已知f(2-cosx)=cos2x+cosx,求f(x-1).


●案例探究


[例1](1)已知函數f(x)滿足f(logax)=(其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表達式.


(2)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達式.


命題意圖:本題主要考查函數概念中的三要素:定義域、值域和對應法則,以及計算能力和綜合運用知識的能力.屬★★★★題目.


知識依托:利用函數基礎知識,特別是對“f”的理解,用好等價轉化,注意定義域.


錯解分析:本題對思維能力要求較高,對定義域的考查、等價轉化易出錯.


技巧與方法:(1)用換元法;(2)用待定系數法.


解:(1)令t=logax(a>1,t>0;0


因此f(t)=(at-a-t)


∴f(x)=(ax-a-x)(a>1,x>0;0


(2)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c


得并且f(1)、f(-1)、f(0)不能同時等于1或-1,所以所求函數為:f(x)=2x2-1或f(x)=-2x2+1或f(x)=-x2-x+1或f(x)=x2-x-1或f(x)=-x2+x+1或f(x)=x2+x-1.


[例2]設f(x)為定義在R上的偶函數,當x≤-1時,y=f(x)的圖象是經過點(-2,0),斜率為1的射線,又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0,2),且過點(-1,1)的一段拋物線,試寫出函數f(x)的表達式,并在圖中作出其圖象.


命題意圖:本題主要考查函數基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法,對分段函數的分析需要較強的思維能力.因此,分段函數是今后高考的熱點題型.屬★★★★題目.知識依托:函數的奇偶性是橋梁,分類討論是關鍵,待定系數求出曲線方程是主線.


錯解分析:本題對思維能力要求很高,分類討論、綜合運用知識易發生混亂.


技巧與方法:合理進行分類,并運用待定系數法求函數表達式.


解:(1)當x≤-1時,設f(x)=x+b


∵射線過點(-2,0).∴0=-2+b即b=2,∴f(x)=x+2.


(2)當-1


∵拋物線過點(-1,1),∴1=a·(-1)2+2,即a=-1


∴f(x)=-x2+2.


(3)當x≥1時,f(x)=-x+2


綜上可知:f(x)=作圖由讀者來完成.


●錦囊妙計


本難點所涉及的問題及解決方法主要有:


1.待定系數法,如果已知函數解析式的構造時,用待定系數法;


2.換元法或配湊法,已知復合函數f[g(x)]的表達式可用換元法,當表達式較簡單時也可用配湊法;


3.消參法,若已知抽象的函數表達式,則用解方程組消參的方法求解f(x);


另外,在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數學思想方法.


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